Tempat Nongkrongnya Pemerhati Mekanika Teknik/Analisis Struktur

Beranda

...

Sipil
Tempat Nongkrongnya Pemerhati Mekanika Teknik/Analisis Struktur

Bridge Engineer

31-10-2013 13:30

Tempat Nongkrongnya Pemerhati Mekanika Teknik/Analisis Struktur

ngindeksnya masih dilanjutin...
selalu update untuk setiap pertanyaan/komentar tentang analisis struktur.

Diubah oleh Bridge Engineer 22-10-2017 17:45

febrinx dan 8 lainnya memberi reputasi

417.5K

Kutip

1.9K

Balasan

Komentar yang asik ya

Mari bergabung, dapatkan informasi dan teman baru!

Sipil

1.8KThread•890Anggota

Tampilkan semua post

Bridge Engineer

22-12-2017 15:39

#1679

Melanjutkan bahasan sebelumnya,

Spoiler for :

[QUOTE=Bridge Engineer;5a36112132e2e6dc2c8b4567]Dua minggu lagi ada transporter alat berat mau lewat jembatan sehingga jembatan perlu penyangga sementara supaya tidak berdeformasi melebihi izinnya. Tapi dengan membuat penyangga, mengakibatkan momen negatif di setiap tumpuan penyangga yang notabene perencana yang lalu tidak mendesain momen negatif di bentang jembatan. Salah sorang teman mengusulkan supaya penyangga tidak menyentuh jembatan sampai jembatan melendut sebesar nilai tertentu sehingga momen lentur di atas tumpuan adalah nol. Yang jadi pertanyaan, berapa celah di atas tumpuan supaya momen gaya tersebut nol.

Teman yang lain membuat analisa sebagai berikut :
supaya analisisnya sederhana (dan membutuhkan koreksi lebih lanjut) dimisalkan muatan terbagi rata q sepanjang bentang jembatan L yang kekakuannya homogen EI.
Penyangga diletakkan di tengah bentang, jika tidak ada tumpuan di tengah bentang, momen maksimum yang terjadi :

M = 1/8 * qL^2

momen gaya ini harus sama dengan momen yang terjadi akibat deformasi struktur sebesar Δ

M = 1/8 * qL^2 = 6EI * Δ/L^2

Δ = qL^4/(48 EI)

jadi celah di atas penumpu harus dibuat Δ = qL^4/(48 EI) sehingga momen gaya di tengah bentang menjadi nol.

periksa analisis ini secara mektek, gunakan persamaan tiga momen untuk memeriksa apakah benar momen gaya ditengah bentang adalah nol. Bayangkan struktur sederhana dengan panjang L, beban terdistribusi merata q. Struktur tertumpu di A, B dan C masing-masing berupa sendi, rol dan rol sedemikian sehingga titik B di tengah A dan C. Menurut persamaan tiga momen (lihat di http://www.kaskus.co.id/show_post/54...298b456b/456/-):

M₁L₁/(E₁I₁) + 2M₂(L₁/(E₁I₁) + L₂/(E₂I₂)) + M₃ L₂/(E₂I₂) + 6A₁a₁/(E₁I₁L₁) + 6A₂b₂/(E₂I₂L₂) - 6(Δ₁/L₁ + Δ₃/L₂) = 0

untuk struktur sederhana seperti di atas :

0 + 2M₂ * L + 0 + 6 * 2/3 * L/2 * 1/8 * q * (L/2)^2 * (L/4)/(L/2) + 6 * 2/3 * L/2 * 1/8 * q * (L/2)^2 * (L/4)/(L/2) - 6EI((qL^4/(48 EI))/(L/2) + (qL^4/(48 EI))/(L/2)) = 0

M₂ = (7qL^2)/32

periksa dengan metoda slope deflection,

Δ = qL^4/(48 EI)

Mab = -1/12 * q(L/2)^2 + 4EI * θa/(L/2) + 2EI * θb/(L/2) - 6EI * Δ/(L/2)^2

Mba = 1/12 * q(L/2)^2 + 2EI * θa/(L/2) + 4EI * θb/(L/2) - 6EI * Δ/(L/2)^2

Mbc = -1/12 * q(L/2)^2 + 4EI * θb/(L/2) + 2EI * θc/(L/2) + 6EI * Δ/(L/2)^2

Mcb = 1/12 * q(L/2)^2 + 2EI * θb/(L/2) + 4EI * θc/(L/2) + 6EI * Δ/(L/2)^2

Mab = 0

-1/12 * q(L/2)^2 + 4EI * θa/(L/2) + 2EI * θb/(L/2) - 6EI * Δ/(L/2)^2 = 0.......................................................(persamaan 1)

Mba + Mbc = 0

1/12 * q(L/2)^2 + 2EI * θa/(L/2) + 4EI * θb/(L/2) + -1/12 * q(L/2)^2 + 4EI * θb/(L/2) + 2EI * θc/(L/2) = 0.......................(persamaan 2)

Mcb = 0

1/12 * q(L/2)^2 + 2EI * θb/(L/2) + 4EI * θc/(L/2) + 6EI * Δ/(L/2)^2 = 0....................................................(persamaan 3)

tiga persamaan dengan tiga peubah θa, θb dan θc selesaikan sistem persamaan di atas sehingga diperoleh :

θa = (q L^4 + 1152 EIΔ)/(384 EI L)

θb = 0

θc = -(q L^4 + 1152 EIΔ)/(384 EI L)

Mbc = -1/12 * q(L/2)^2 + 4EI * θb/(L/2) + 2EI * θc/(L/2) + 6EI * Δ/(L/2)^2

Mbc = -1/12 * q(L/2)^2 + 4EI * 0/(L/2) + 2EI * (-(q L^4 + 1152 EI * (q * L^4/(48 EI)))/(384 EI L))/(L/2) + 6EI * (qL^4/(48 EI))/(L/2)^2

Mbc = (7/32) qL^2

ternyata kedua metoda di atas memberikan momen gaya yang sama besarnya di tumpuan yang hasilnya tidak nol. Jadi untuk menentukan tinggi celah di tumpuan tidak dengan cara di atas.

misalkan harus dibuat tinggi celah sebesar y, maka menurut persamaan tiga momen di atas :

0 + 2M₂ * L + 0 + 6 * 2/3 * L/2 * 1/8 * q * (L/2)^2 * (L/4)/(L/2) + 6 * 2/3 * L/2 * 1/8 * q * (L/2)^2 * (L/4)/(L/2) - 6EI(y/(L/2) + y/(L/2)) = 0

y = L^2 (32M₂ + qL^2)/(384 EI)

setting : M₂ = 0 sehingga diperoleh :

y = qL^4/(384 EI)

sedangkan menurut persamaan slope deflection,

Mbc = -1/12 * q(L/2)^2 + 4EI * θb/(L/2) + 2EI * θc/(L/2) + 6EI * Δ/(L/2)^2

0 = -1/12 * q(L/2)^2 + 4EI * 0/(L/2) + 2EI * (-(q L^4 + 1152 EI * y)/(384 EI L))/(L/2) + 6EI * y/(L/2)^2

y = qL^4/(384 EI)

jika kita perhatikan hasil dari analisis di atas :

y = L^2 (32M₂ + qL^2)/(384 EI)

jika ditengah bentang dibuat tumpuan tanpa gap/celah :

y = 0

0 = L^2 (32M₂ + qL^2)/(384 EI)

M₂ = -(1/32)qL^2

dan jika dibuat gap maksimum

y = qL^4/(384 EI)

akan menghasilkan :

M₂ = 0

padahal kita ketahui bersama, jika terjadi lendutan maksimum di tengah bentang, momen gaya yang terjadi adalah :

M = 1/8 * qL^2

jadi rentang besar momen gaya adalah -(1/32)qL^2 ≤ M ≤ 1/8 * qL^2 untuk tinggi gap/celah 0 ≤ y ≤ qL^4/(384 EI)

sistem struktur sederhana di atas dua tumpuan seperti terlihat di gambar berikut di atas akan diberikan tumpuan tambahan yang bagian atasnya diberi celah. Misalkan dibuat gap/celah setinggi y, beban merata q' yang mengakibatkan terjadi deformasi maksimum sebesar y adalah

y = (5/384)q' L^4/(EI)

q' = 384EI y/(5 L^4)

sehingga beban merata tersisa yang bekerja pada tumpuan adalah

q'' = q - q'

q'' = q - 384EI y/(5 L^4)

momen gaya di tengah bentang akibat beban merata q' adalah

M = (1/8) q' * L^2

M = (1/8)(384EI y/(5 L^4)) * L^2

beban merata q'' ini yang mengakibatkan momen gaya di tumpuan tengah. Berdasarkan persamaan tiga momen pada posting sebelumnya,

y = L^2 (32M₂ + q'' * L^2)/(384 EI)

y = L^2 (32M₂ + (q - 384EI y/(5 L^4)) L^2)/(384 EI)

M₂ = (-5 L^4 q + 2304 EI y)/(160 L^2)

tentunya momen gaya ini harus sama dengan momen gaya di tengah bentang akibat beban merata q' sehingga total momennya adalah nol,

ΣM total = 0

M + M₂ = 0

(1/8)(384EI y/(5 L^4)) * L^2 + (-5 L^4 q + 2304 EI y)/(160 L^2) = 0

y = (1/768)q L^4/(EI)

jadi perlu gap/celah di atas sokongan tengah bentang jembatan sebesar 10% defleksi maksimumnya sehinnga netto momen gaya di tengah bentang adalah nol.

kasus berikutnya :

bagaimana jika dibuat dua tumpaun pada posisi yang membagi bentang jembatan sama panjang seperti terlihat pada gambar di atas?
sudah dibahas di http://www.kaskus.co.id/show_post/53...328b45e1/371/-berkaitan dengan bentuk kurva elastis akibat beban merata.

-EI v = qLx³/12 - qx⁴/24 + - qL³x/24

misalkan jarak gap/celah pada masing-masing tumpuan adalah y.
Harap diingat jarak masing-masing tumpuan adalah L/3 dan 2L/3 dari salah satu ujung jembatan.
Cari dulu beban merata q' yang mengakibatkan defleksi jembatan sebesar y di x = L/3 dan x = 2L/3

-EI y = q' Lx³/12 - q' x⁴/24 + - q' L³x/24

q' = 24 EI y/(x (L^3 - 2 L x^2 + x^3))

q' = 24 EI y/(L/3 * (L^3 - 2 L (L/3)^2 + (L/3)^3))

q' = 972 EI y/(11 L^4)

kalo agan cek lagi untuk x = 2L/3, hasilnya harus sama:

q' = 24 EI y/(x (L^3 - 2 L x^2 + x^3))

q' = 24 EI y/(2L/3 * (L^3 - 2 L (2L/3)^2 + (2L/3)^3))

q' = 972 EI y/(11 L^4)

sehingga momen gaya yang terjadi pada balok di atas tumpuan sesaat sebelum menyentuhnya adalah

-EI y = q' Lx³/12 - q' x⁴/24 + - q' L³x/24

-EI y'' = (L q' x)/2 - (q' x^2)/2

-EI y'' = M

M = (L q' x)/2 - (q' x^2)/2

M = (L q' * L/3)/2 - (q' (L/3)^2)/2

M = (1/9)q' L^2

periksa untuk x = 2L/3

M = (L q' x)/2 - (q' x^2)/2

M = (L q' * 2L/3)/2 - (q' (2L/3)^2)/2

M = (1/9)q' L^2

ok cocok !

lanjuuttt...
beban merata tersisa untuk semua tumpuan yang sudah aktif adalah

q'' = q - q'

q'' = q - 972 EI y/(11 L^4)

gunakan persamaan tiga momen untuk mencari momen gaya di setiap tumpuan.

M₁L₁/(E₁I₁) + 2M₂(L₁/(E₁I₁) + L₂/(E₂I₂)) + M₃ L₂/(E₂I₂) + 6A₁a₁/(E₁I₁L₁) + 6A₂b₂/(E₂I₂L₂) - 6(Δ₁/L₁ + Δ₃/L₂) = 0

untuk titik A, B dan C

0 + 2Mb (L/3 + L/3) + Mc (L/3) + 6 * 2/3 * L/3 * 1/8 * q'' * (L/3)^2 (L/6)/(L/3) + 6 * 2/3 * L/3 * 1/8 * q'' * (L/3)^2 (L/6)/(L/3) - 6EI (y/(L/3) + 0) = 0.............................(persamaan 1)

untuk titik B, C dan D

0 + 2Mc (L/3 + L/3) + Mb (L/3) + 6 * 2/3 * L/3 * 1/8 * q'' * (L/3)^2 (L/6)/(L/3) + 6 * 2/3 * L/3 * 1/8 * q'' * (L/3)^2 (L/6)/(L/3) - 6EI (y/(L/3) + 0) = 0.............................(persamaan 2)

selesaikan sistem persamaan di atas sehingga bisa diperoleh :

Mb = Mc = (972 EI y - q'' L^4)/(90 L^2)

total momen gaya untuk dua kondisi di atas harus sama dengan nol,

ΣM total = 0

M + Mb = 0

(1/9)q' L^2 + (972 EI y - q'' L^4)/(90 L^2) = 0

(1/9)(972 EI y/(11 L^4)) L^2 - (972 EI y + (q - 972 EI y/(11 L^4)) L^4)/(90 L^2) = 0

y = (1/1944) qL^4/(EI)

Resume :

jadi gap/celah yang harus diberikan di tumpuan B dan C adalah y = (1/1944) qL^4/(EI)
silakan agan periksa kembali analisis di atas dengan metoda lain.
gunakan penalaran yang sama jika digunakan jumlah tambahan tumpuan 3, 4, 5... dst untuk posisi simetris dan non simetris.

catatan :

kondisi beban kendaraan yang sebenarnya berupa banyak beban terpusat yang berjalan dari satu abutmen ke abutmen berikutnya;
kemungkinan kakakuan struktur tidak homogen untuk semua bentangan jembatan;
perlu digunakan garis pengaruh untuk meninjau besar momen gaya di lokasi tertentu.

untuk meyakinkan kita coba secara numerik, hasilnya diberikan pada tabel di bawah ini :

perhatikan nilai yang diberi warna cell merahbesarnya harus sama tetapi berlawanan arah antara momen gaya hasil numerik (dalam tabel) dengan momen gaya yang diperoleh secara analitik (sebelah kanan tabel).
File analisis numeriknya bisa diunduh di sini.

silakan buat agan/sis yang mau bertanya/komentar/koreksi...

Kutip

Balas