penyelesaian 6 persamaan linear dengan 6 peubah menghasilkan :

A = -11 (2 L^2 P + L^3 q)/1024

S = (30 L^3 P + 7 L^4 q)/3072

R = -5 (54 L^2 P + 11 L^3 q)/3072

C = (-114 L^2 P - 37 L^3 q)/3072

U = (-66 L^2 P - 65 L^3 q)/3072

V = 0



maka lendutan di titik B adalah

dari segmen 0 ≤ x ≤ L/2

-EI y = 1/96 * x^3 (3 L q + 2 (P - 2 q x)) + Ax

-EI y = 1/96 * x^3 (3 L q + 2 (P - 2 q x)) - 11x * (2 L^2 P + L^3 q)/1024

-EI y = 1/96 * (L/2)^3 (3 L q + 2 (P - 2 q (L/2))) - 11(L/2) * (2 L^2 P + L^3 q)/1024

y = 25 L^3 (L q + 2 P)/(6144 EI)


periksa dari segmen L/2 ≤ x ≤ 3L/4

-EI y = 1/32 * L^2 q x^2 - 1/96 * L q x^3 + P x^3/48 + Ux + V

-EI y = 1/32 * L^2 q x^2 - 1/96 * L q x^3 + P x^3/48 + (-66 L^2 P - 65 L^3 q)x/3072

-EI y = 1/32 * L^2 q (L/2)^2 - 1/96 * L q (L/2)^3 + P (L/2)^3/48 + (-66 L^2 P - 65 L^3 q)(L/2)/3072

y = 25 L^3 (L q + 2 P)/(6144 EI)

ok cocok



periksa dari segmen CB untuk L/4 ≤ x ≤ L/2

-EI y = 1/8 * L P x^2 + 1/48 * L q x^3 - P x^3/24 + Rx + S

-EI y = 1/8 * L P x^2 + 1/48 * L q x^3 - P x^3/24 - 5 (54 L^2 P + 11 L^3 q)x/3072 + (30 L^3 P + 7 L^4 q)/3072

-EI y = 1/8 * L P (L/2)^2 + 1/48 * L q (L/2)^3
- P (L/2)^3/24 - 5 (54 L^2 P + 11 L^3 q)(L/2)/3072
+ (30 L^3 P + 7 L^4 q)/3072

y = 25 L^3 (L q + 2 P)/(6144 EI)


dilanjutkan dengan analisis struktur statistis tertentu kedua seperti terlihat pada gambar di bawah ini,



Va = Vc = Vb/2

untuk segmen AB pada interval 0 ≤ x ≤ L/2

Mx = - (Va)(x)

Mx = - (1/2 * Vb)(x)

penerapan persamaan euler-bernoulli,

-2EI y'' = Mx

-2EI y'' = - (1/2 * Vb)(x)

-EI y'' = - (1/4 * Vb)(x)

-EI y' = - (1/8 * Vb)(x^2) + M

-EI y = - (1/24 * Vb)(x^3) + Mx + N



untuk segmen CB pada interval 0 ≤ x ≤ L/2

Mx = - (Vc)(x)

Mx = - (1/2 * Vb)(x)

penerapan persamaan euler-bernoulli,

-EI y'' = Mx

-EI y'' = - (1/2 * Vb)(x)

-EI y' = - (1/4 * Vb)(x^2) + F

-EI y = - (1/12 * Vb)(x^3) + F * x + G


syarat batas yang dimiliki adalah :

segmen AB pada interval 0 ≤ x ≤ L/2

y(0) = 0

-EI y = - (1/24 * Vb)(x^3) + Mx + N

0 = - (1/24 * Vb)(0^3) + M * 0 + N

N = 0


untuk segmen CB pada interval 0 ≤ x ≤ L/2

y(0) = 0

-EI y = - (1/12 * Vb)(x^3) + F * x + G

0 = - (1/12 * Vb)(0^3) + F * 0 + G

G = 0


rotasi di x = L/2 segmen AB = - rotasi di x = L/2 segmen CB

- (1/8 * Vb)(x^2) + M = - (- (1/4 * Vb)(x^2) + F)

- (1/8 * Vb)((L/2)^2) + M = - (- (1/4 * Vb)((L/2)^2) + F). . . . . . . . . .(persamaan 1)


lendutan di x = L/2 segmen AB = lendutan di x = L/2 segmen CB

- (1/24 * Vb)(x^3) + Mx = - (1/12 * Vb)(x^3) + F * x

- (1/24 * Vb)((L/2)^3) + M * (L/2) = - (1/12 * Vb)((L/2)^3) + F * (L/2). . . . . . . . . .(persamaan 2)

dua persamaan dengan dua peubah, F dan M diselesaikan sehingga menghasilkan :

F = 5 L^2 Vb/96

M = L^2 Vb/24

sehingga persamaan kurva elastisnya adalah

-EI y = - (1/24 * Vb)(x^3) + Mx + N

-EI y = - (1/24 * Vb)(x^3) + L^2 Vb x/24

lendutan di x = L/2 adalah

-EI y = - (1/24 * Vb)((L/2)^3) + L^2 Vb * (L/2)/24

y = -L^3 Vb/(64 EI)



tentunya lendutan ini harus sama jika dihitung dari segmen CB,

-EI y = - (1/12 * Vb)(x^3) + F * x

-EI y = - (1/12 * Vb)((L/2)^3) + 5 L^2 Vb/96 * (L/2)

y = -L^3 Vb/(64 EI)

ok cocok.




kemudian tinjau kembali struktur statis tak tentu,



jumlah total lendutan di titik B = 0

y statis tertentu + y statis tak tentu = 0

25 L^3 (L q + 2 P)/(6144 EI) + (-L^3 Vb/(64 EI)) = 0

Vb = 25/96 * (L q + 2 P)

tanda positif artinya pemisalan arah gaya reaksi Vb sudah benar.
menghitung reaksi-reaksi perletakan,

ΣM di A = 0

(q)(L/2)(L/4) - (Vb)(L/2) + (P)(3L/4) - (Vc)(L) = 0

(q)(L/2)(L/4) - (25/96 * (L q + 2 P))(L/2) + (P)(3L/4) - (Vc)(L) = 0

Vc = 1/192 * (94 P - L q)


ΣFy = 0

Va - (q)(L/2) + Vb - P + Vc = 0

Va - (q)(L/2) + 25/96 * (L q + 2 P) - P + 1/192 * (94 P - L q) = 0

Va = 1/192 * (47 L q - 2 P)




periksa apakah reaksi di atas sudah benar,

ΣM di C = 0

(Va)(L) - (q)(L/2)(3L/4) + (Vb)(L/2) - (P)(L/4) = 0

(1/192 * (47 L q - 2 P))(L) - (q)(L/2)(3L/4) + (25/96 * (L q + 2 P))(L/2) - (P)(L/4) = 0

0 = 0

OK cocok



ΣM di B = 0

-(q)(L/2)(L/4) + (Va)(L/2) + (P)(L/4) - (Vc)(L/2) = 0

-(q)(L/2)(L/4) + (1/192 * (47 L q - 2 P))(L/2) + (P)(L/4) - (1/192 * (94 P - L q))(L/2) = 0

0 = 0

Ok cocok






Catatan :
ternyata untuk permasalahan yang sederhana seperti ini, pengerjaannya cukup panjang. Jadi metoda elastisitas dengan penerapan persamaan Euler-Bernoulli dirasa kurang praktis. Untuk permasalahan struktur yang lebih rumit, akan kita coba metoda lain yang dirasa lebih praktis dari metoda elastisitas.
Silakan buat agan/sist yang mau turut berkontribusi...terbuka lebar.