Melanjutkan diskusi sebelumnya,


kita coba dengan pemahaman yang sederhana. Misalkan terdapat balok dengan perletakan sendi-rol. Panjang balok adalah L, kekakuannya EI dan menerima beban terpusat P di tengah bentang. Maka lendutan maksimum balok terjadi di tengah bentang sebesar Δ,

sudah agan/sist ketahui bahwa momen untuk beban terpusat P ditengah bentang adalah

M = Px/2

sesuai bentuk persamaan diferensial dari bahasan sebelumnya,

-EI v'' = M

-EI v'' = Px/2

-EI v' = Px²/4 + c

-EI v = Px³/12 + cx + C

syarat batas,

pada perletakan sendi atau rol,

v(0) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (kondisi 1)

dan di tengah bentang,

v'(L/2) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (kondisi 2)

penerapan pada kondisi 1,

-EI v = Px³/12 + cx + C

-EI * 0 = P * (0)³/12 + c * (0) + C

C = 0


penerapan pada kondisi 2,

-EI v' = Px²/4 + c

-EI * 0 = P * (L/2)²/4 + c

c = -PL²/16

maka solusi persamaan diferensial adalah :

-EI v = Px³/12 + cx + C

-EI v = Px³/12 - PL²x/16

posisi di tengah bentang, x = L/2

-EI v = P * (L/2)³/12 - PL² * (L/2)/16

v = PL³/(48EI)

jadi lendutan di tengah bentang akibat gaya P adalah v = PL³/(48EI)

mencari lendutan di L/4 adalah sebangai berikut:

-EI v = Px³/12 - PL²x/16

-EI v = -11 PL^3 /768

v = 11 PL^3 /(768EI)

selanjutnya akan kita bahas penerapan hukum Euler-Bernoulli untuk permasalahan yang lebih kompleks.
Buat agan/sis yang mau bertanya, berkomentar, berkontribusi dll, silakan terbuka lebar.

bahasan sebelumnya,

Selanjutnya, jika ada struktur balok pada tumpuan sederhana, menerima beban terpusat P pada jarak 0.25L dari sendi. Diasumsikan balok ABC berperilaku linear elastik dengan kekakuan EI seragam seperti terlihat di bawah ini,



akan dicari lendutan di titik B, maka langkahnya adalah

(a).

mencari reaksi perletakan di titik A dan B sehingga akan diperoleh :

Va = 0.75P
Vb = 0.25P



(b).

Analisis potongan balok bagian kiri sehingga diperoleh freebody sebagai berikut :



ΣM di potongan = 0

(Va)(x) - Mx = 0

(3P/4)(x) - Mx = 0

Mx = 3Px/4

dan untuk potongan balok sebelah kanan terlihat pada gambar berikut :



ΣM di potongan = 0

-(Vc)(x) + Mx = 0

Mx = (P/4)(x)

Mx = Px/4




(c).

gunakan persamaan euler-bernoulli,

segmen AB

-EI v'' = Mx

-EI v'' = 3Px/4

-EI v' = 3Px²/8 + A

-EI v = Px³/8 + Ax + B

A dan B adalah sebarang konstanta bilangan real.




segmen CB

-EI v'' = Mx

-EI v'' = Px/4

-EI v' = Px²/8 + C

-EI v = Px³/24 + Cx + D

C dan D adalah sebarang konstanta bilangan real.



(d).

sekarang terdapat 4 konstanta yang tidak diketahui yaitu A, B, C dan D.
maka diperlukan 4 syarat batas supaya diperoleh nilai unik untuk setiap konstanta. Syarat batas yang dimaksud adalah :

• lendutan di A = 0
  
• lendutan di C = 0
  
• putaran sudut di B ditinjau dari segmen bagian kiri = -putaran sudut di B ditinjau dari segmen bagian kanan
  
• lendutan di B ditinjau dari segmen bagian kiri = lendutan di B ditinjau dari segmen bagian kanan
  

perhatikan bahwa putaran sudut dikiri = - putaran sudut dikanan karena pada bagian kiri, nilai x bertambah dari kiri ke kanan dan pada bagian kanan, nilai x bertambah dari kanan ke kiri. Sehingga arah putaran sudut di bagian kiri adalah searah jarum jam, sedangkan di bagian kanan berlawanan arah jarum jam.

untuk lendutan bagian kiri = lendutan bagian kanan karena baik dari arah kiri ataupun dari arah kanan, lendutannya sama-sama menuju ke bawah.

terapkan masing-masing syarat batas di atas sesuai kasusnya.

lendutan di A = 0

-EI v = Px³/8 + Ax + B

-EI * 0 = P * 0³/8 + A * 0 + B

B = 0



lendutan di C = 0

-EI v = Px³/24 + Cx + D

-EI * 0 = P * 0³/24 + C * 0 + D

D = 0


putaran sudut di B ditinjau dari segmen bagian kiri = -putaran sudut di B ditinjau dari segmen bagian kanan

3P * (L/4)²/8 + A = -(P * (3L/4)²/8 + C). . . . . . . . . . . . . . . .(persamaan 1)



lendutan di B ditinjau dari segmen bagian kiri = lendutan di B ditinjau dari segmen bagian kanan

Px³/8 + Ax + B = Px³/24 + Cx + D

P * (L/4)³/8 + A * (L/4) + 0 = P *(3L/4)³/24 + C * (3L/4) + 0. . . . . . . . . . .(persamaan 2)

dua persamaan dengan dua peubah A dan C diselesaikan sehingga diperoleh :

A = -7PL²/128

C = -5PL²/128

sehingga solusi persamaan diferensialnya adalah :

untuk segmen AB,

-EI v' = 3Px²/8 - 7PL²/128

-EI v = Px³/8 -7PL²x/128



untuk segmen CB,

-EI v' = Px²/8 -5PL²/128

-EI v = Px³/24 -5PL²x/128



(e).

memeriksa solusi persamaan yang diperoleh dari (d) apakah sudah benar atau masih salah.

putaran sudut untuk segmen AB,

x = L/4

-EI v' = 3Px²/8 - 7PL²/128

-EI v' = 3P *(L/4)²/8 - 7PL²/128

-EI v' = -PL²/32

(searah jarum jam)



putaran sudut untuk segmen CB,

x = 3L/4

-EI v' = Px²/8 - 5PL²/128

-EI v' = P * (3L/4)²/8 - 5PL²/128

-EI v' = PL²/32

(berlawanan arah jarum jam)



defleksi untuk segmen AB,

x = L/4

-EI v = Px³/8 -7PL²x/128

-EI v = P *(L/4)³/8 -7PL² * (L/4)/128

-EI v = -3PL³/256

(defleksi arah ke bawah)



defleksi untuk segmen CB,

x = 3L/4

-EI v = Px³/24 - 5PL²x/128

-EI v = P * (3L/4)³/24 - 5PL² * (3L/4)/128

-EI v = -3PL³/256

(defleksi arah ke bawah)

OK cocok


mencari defleksi di tengah bentang L/2, terdapat dalam segmen CB,

-EI v = Px³/24 - 5PL²x/128

-EI v = P(L/2)³/24 - 5PL²(L/2)/128

-EI v = -11PL^3/768

v = 11PL^3/(768EI)




catatan :
untuk memeriksa lebih lanjut, bisa dilakukan di sebarang titik lain pada bentang ABC.

Silakan buat agan/sis kalau ada yang mau ditanyakan, kita diskusi bareng.