Ada satu hal yang menarik dari metoda elastis ini, kita akan pelajari lebih lanjut. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini,



(a).

Mencari reaksi perletakan

ΣM di A = 0

(1)(2) + (2)(2 + 3) - (Vd)(2 + 3 + 4) = 0

Vd = 4/3 kN


ΣFy = 0

Va + Vd - 1 - 2 = 0

Va + 4/3 - 1 - 2 = 0

Va = 5/3 kN



(b).

periksa reaksi perletakan di atas sudah benar atau masih salah,

ΣM di B = 0

(Va)(2) + (2)(3) - (Vd)(3 + 4) = 0

(5/3)(2) + (2)(3) - (4/3)(3 + 4) = 0

0 = 0

OK


ΣM di C = 0

(Va)(2 + 3) - (1)(3) - (Vd)(4) = 0

(5/3)(2 + 3) - (1)(3) - (4/3)(4) = 0

0 = 0

OK


ΣM di D = 0

(Va)(2 + 3 + 4) - (1)(3 + 4) - (2)(4) = 0

(5/3)(2 + 3 + 4) - (1)(3 + 4) - (2)(4) = 0

0 = 0

OK


(c).

mencari momen gaya internal, lihat potongan struktur sebelah kiri,

segmen AB,

0 ≤ x ≤ 2

Mx = (Va)(x)

Mx = 5x/3


segmen BC,

2 ≤ x ≤ 5

Mx = (Va)(x) - (1)(x - 2)

Mx = (5/3)(x) - (1)(x - 2)

Mx = 2x/3 + 2




untuk segmen DC, ditinjau dari potongan kanan

0 ≤ x ≤ 4

Mx = (Vd)(x)

Mx = 4x/3


segmen CB,

4 ≤ x ≤ 7

Mx = (Vd)(x) - (2)(x - 4)

Mx = (4/3)(x) - (2)(x - 4)

Mx = 8 - 2x/3



(d).

memeriksa hasil yang diperoleh pada (c) sudah benar atau masih salah,

segmen AB,

0 ≤ x ≤ 2

Mx = 5x/3

M(0) = 5(0)/3 = 0 ⇐ OK


M(2) = 5(2)/3

M(2) = 10/3 kNm


segmen BC,

2 ≤ x ≤ 5

Mx = 2x/3 + 2

M(2) = 2(2)/3 + 2

M(2) = 10/3 kNm ⇐ OK cocok dengan M(2) segmen AB

M(5) = 2(5)/3 + 2

M(5) = 16/3 kNm



segmen DC,

0 ≤ x ≤ 4

Mx = 4x/3

M(0) = 4(0)/3 = 0 ⇐ OK

M(4) = 4(4)/3 = 16/3 kNm ⇐ OK Cocok dengan x = 5 pada segmen BC


segmen CB

4 ≤ x ≤ 7

Mx = 8 - 2x/3

M(4) = 8 - 2(4)/3

M(4) = 16/3 kNm ⇐ OK Cocok dengan x = 4 pada segmen DC dan x = 5 pada segmen BC

M(7) = 8 - 2(7)/3

M(7) = 10/3 kN ⇐ OK Cocok dengan x = 2 pada segmen AB




(e).

menerapkan persamaan Euler-Bernoulli,

segmen AB,

0 ≤ x ≤ 2

-EI y'' = Mx

-EI y'' = Mx

-EI y'' = 5x/3

-EI y' = 5x^2/6 + A

-EI y = 5x^3/18 + Ax + B



segmen BC,

2 ≤ x ≤ 5

-EI y'' = Mx

-EI y'' = 2x/3 + 2

-EI y' = x^2/3 + 2x + C

-EI y = x^3/9 + x^2 + Cx + D



segmen DC,

0 ≤ x ≤ 4

-EI y'' = Mx

-EI y'' = 4x/3

-EI y' = 2x^2/3 + P

-EI y = 2x^3/9 + Px + Q



segmen CB

4 ≤ x ≤ 7

-EI y'' = Mx

-EI y'' = 8 - 2x/3

-EI y' = 8x - x^2/3 + R

-EI y = 4x^2 - x^3/9 + Rx + S

terdapat 8 peubah yaitu A, B, C, D, P, Q, R dan S maka diperlukan 8 persamaan untuk mendapatkan nilai unik semua peubahnya.

lendutan di titik A = 0

-EI y = 5x^3/18 + Ax + B

0 = 5 * 0^3/18 + A * 0 + B

B = 0


lendutan di titik D = 0

-EI y = 2x^3/9 + Px + Q

0 = 2 * 0^3/9 + P * 0 + Q

Q = 0


putaran sudut di B segmen AB = - putaran sudut di B segmen CB

5x^2/6 + A = - (8x - x^2/3 + R)

5(2)^2/6 + A = - (8(7) - 7^2/3 + R). . . . . . . . . . . . . .(persamaan 1a)


putaran sudut di B segmen BC = - putaran sudut di B segmen CB

x^2/3 + 2x + C = - (8x - x^2/3 + R)

2^2/3 + 2(2) + C = - (8(7) - 7^2/3 + R). . . . . . . . . . . . . .(persamaan 1b)


putaran sudut di C segmen BC = - putaran sudut di C segmen DC

x^2/3 + 2x + C = -(2x^2/3 + P)

5^2/3 + 2(5) + C = -(2(4)^2/3 + P). . . . . . . . . . . . . .(persamaan 2)


putaran sudut di C segmen BC = - putaran sudut di C segmen CB

x^2/3 + 2x + C = -(8x - x^2/3 + R)

5^2/3 + 2(5) + C = -(8(4) - 4^2/3 + R). . . . . . . . . . . . . .(persamaan 3)


lendutan di B segmen AB = lendutan di B segmen CB

5x^3/18 + Ax + B = 4x^2 - x^3/9 + Rx + S

5(2)^3/18 + A(2) + 0 = 4(7)^2 - 7^3/9 + R(7) + S. . . . . . . . . . . . . .(persamaan 4)



lendutan di C segmen BC = lendutan di C segmen DC

x^3/9 + x^2 + Cx + D = 2x^3/9 + Px + Q

5^3/9 + 5^2 + C * 5 + D = 2(4)^3/9 + P * 4 + 0. . . . . . . . . . . . . .(persamaan 5)


lendutan di C segmen BC = lendutan di C segmen CB

x^3/9 + x^2 + Cx + D = 4x^2 - x^3/9 + Rx + S. . . . . . . . . . . . . .(persamaan 6)

5^3/9 + 5^2 + C * 5 + D = 4(4)^2 - 4^3/9 + R * 4 + S


6 persamaan untuk mencari 6 variabel A, C, D, P, S, R diselesaikan dengan aljabar linear sehingga diperoleh :

A = -124/9

C = -142/9

D = 4/3

P = -119/9

R = -263/9

S = 64/3



(f).

memeriksa solusi persamaan yang diperoleh di (e)

maka solusi persamaan diferensial pada :

bentang AB :

-EI y = 5x^3/18 + Ax + B

-EI y = 5x^3/18 - 124x/9

-EI y(2) = 5(2)^3/18 - 124(2)/9

-EI y(2) = -76/3


bentang BC :

-EI y = x^3/9 + x^2 + Cx + D

-EI y = x^3/9 + x^2 - 142x/9 + 4/3

-EI y(2) = 2^3/9 + 2^2 - 142(2)/9 + 4/3

-EI y(2) = -76/3 ⇐ OK Cocok dengan x = 2 pada segmen AB

-EI y(5) = 5^3/9 + 5^2 - 142(5)/9 + 4/3

-EI y(5) = -116/3


bentang DC :

-EI y = 2x^3/9 + Px + Q

-EI y = 2x^3/9 - 119x/9

-EI y(4) = 2(4)^3/9 - 119(4)/9

-EI y(4) = -116/3 ⇐ OK Cocok dengan x = 2 pada segmen BC


bentang CB :

-EI y = 4x^2 - x^3/9 + Rx + S

-EI y = 4x^2 - x^3/9 - 263x/9 + 64/3

-EI y(4) = 4(4)^2 - 4^3/9 - 263(4)/9 + 64/3

-EI y(4) = -(116/3) ⇐ OK Cocok dengan x = 4 pada segmen DC

-EI y(7) = 4(7)^2 - 7^3/9 - 263(7)/9 + 64/3

-EI y(7) = -76/3 ⇐ OK Cocok dengan x = 2 pada segmen AB


Ok kontrol lendutan sudah cocok, silakan agan periksa untuk kontrol putaran sudut.




(g).

menentukan posisi dan besar lendutan maksimum, ditebak langsung pasti di segmen BC, 2 ≤ x ≤ 5

-EI y' = x^2/3 + 2x -142/9

0 = x^2/3 + 2x -142/9

x = 4.5056 meter (dari titik A)


periksa untuk segmen CB, 4 ≤ x ≤ 7

-EI y' = 8x - x^2/3 - 263/9

0 = 8x - x^2/3 - 263/9

x = 4.4944 meter (dari titik D)


cek :

L = x1 + x2

L = 4.5056 + 4.4944

L = 9 meter

Ok cocok




besar lendutan maksimum,

Segmen BC, 2 ≤ x ≤ 5

-EI y = x^3/9 + x^2 - 142x/9 + 4/3

-EI y = 4.5056^3/9 + 4.5056^2 - 142(4.5056)/9 + 4/3

y = 39.2917/EI



periksa dari segmen CB, 4 ≤ x ≤ 7

-EI y = 4x^2 - x^3/9 - 263x/9 + 64/3

-EI y = 4(4.4944)^2 - 4.4944^3/9 - 263(4.4944)/9 + 64/3

y = 39.2917/EI


Ok cocok




(h).

sketsa kurva elastisnya seperti gambar di bawah ini :